T.C.   Jónatan Feliner Gómez Gómez

A.D.- José David Cobón Motta

"ANÁLISIS DIMENSIONAL" 

El análisis dimensional es una parte de la física que estudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. Tal estudio se hace básicamente para descubrir valores numéricos, a los que los llamaremos "Dimensiones", los cuales aparecen como exponentes de los símbolos de las magnitudes fundamentales.

Fines del análisis dimensional:

1. El análisis dimensional sirve para expresar (relacionar) las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales.
2. Sirven para comprobar la veracidad o falsedad de las fórmulas físicas, haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional.
3. Sirven para deducir nuevas fórmulas a partir de datos experimentales. (Fórmulas Empíricas).

Magnitudes y unidades:

Todo aquello que sea susceptible de aceptar una comparación con otra de su misma especie, es una magnitud (con la consideración de que ésta debe ser inmaterial). Así por ejemplo son magnitudes, la longitud, la masa, el tiempo, el área, el volumen, etc.

Llamamos unidad de medida a aquella cantidad elegida como patrón de comparación. Una misma magnitud puede tener varias unidades de medida.

Clasificación de las magnitudes:

Por su origen	Por su naturaleza
Fundamentales. Derivadas.	Escalares. Vectoriales.

Magnitudes fundamentales:

Son todas aquellas que tienen la particular característica de estar presente en todos o casi todos los fenómenos físicos, y además sirven de base para escribir o representar las demás magnitudes.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.)
Magnitud	Símbolo	Unidad Básica (Símbolo)
Longitud.	L	Metro (m)
Masa.	M	Kilogramo (kg)
Tiempo.	T	Segundo (s)
Intensidad de corriente eléctrica.	I	Ampere o Amperio (A)
Intensidad Luminosa.	J	Candela (cd)
Temperatura Termodinámica.	q	Kelvin (K)
Cantidad de Sustancia.	N	Mol (mol)

MAGNITUDES AUXILIARES COMPLEMENTARIAS O SUPLEMENTARIAS
Nombre	Unidad Básica (Símbolo)
Ángulo Plano.	Radian (rad).
Ángulo Sólido.	Estereorradián (sr).

Magnitudes derivadas:

En número es el grupo más grande (ilimitado) en el cada uno puede definirse por una combinación de magnitudes fundamentales y/o auxiliares. Estas combinaciones se consiguen mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación. Por lo tanto toda magnitud derivada tendrá la siguiente forma: ; donde los exponentes numéricos: a, b, c, d, e, f, g, se conocen como dimensiones.

Ejemplo: área, Volumen, velocidad, aceleración, fuerza, trabajo, energía, calor, etc.

Magnitudes escalares:

Son aquellas magnitudes que quedan perfectamente determinadas o bien definidas con sólo conocer su valor numérico o cantidad y su respectiva unidad de medida.

Ejemplo: área, volumen, longitud, tiempo, trabajo, energía, calor, etc.

Magnitudes vectoriales:

Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y su unidad, se necesita la dirección y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente definida o determinada.

Ejemplo: Velocidad, aceleración, fuerza, gravedad, etc.

Múltiplos y submúltiplos:

MÚLTIPLOS		SUBMÚLTIPLOS
Nombre y Símbolo	Factor	Nombre y Símbolo	Factor
Yotta (Y)	10 24	Deci (d)	10 -1
Zeta (E)	10 21	Centi (c)	10 -2
Exa (E)	10 18	Mili (m)	10 -3
Peta (P)	10 15	Micro (m)	10 -6
Tera (T)	10 12	Nano (n)	10 -9
Giga (G)	10 9	Pico (p)	10 -12
Mega (M)	10 6	Femto (f)	10 -15
Kilo (k)	1000	Atto (a)	10 -18
Hecto (h)	100	Zepto (z)	10 -21
Deca (da)	10	Yocto (y)	10 -24

Ecuaciones dimensionales:

Llamadas también "fórmulas dimensionales", son expresiones matemáticas que colocan a lasmagnitudes derivadas en función de las fundamentales, utilizando para ello las reglas básicas del álgebra, excepto la suma y resta.

Notación:

A: se lee magnitud "A"; [A]: se lee Ecuación Dimensional de "A".

Formulas para las siguientes figuras:

T_C_YENIFER_RECINOS_PALACIOS

TEORÍA DE CONJUNTOS

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesina do, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:

{ a, b, c, ..., x, y, z}

Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas (,).

El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos.

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:

El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:

{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }

En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:

El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.

MEMBRESIA

Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo:

A={ a, c, b }

B={ primavera, verano, otoño, invierno }

El símbolo Î indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada /quedando el símbolo como Ï .

 Ejemplo:

Sea B={ a, e, i, o, u }, a Î B y c Ï B

SUBCONJUNTO

Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }

En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.

Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë .

Note que Î se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos.

UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL

El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:

U={ 1, 2, 3, 4, 5 }

Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:

• Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde

N={ 1, 2, 3, .... }

• Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde

Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

• Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones }). Estos números se representan por una Q
• Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.
• Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.

Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprehensión.

Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60.

Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:

{ x/x Î N ; x<60 }

En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y además que los valores de x son menores que 60.

Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente:

{ x/x Î Z ; -20 £ x £ 30 }

También se puede expresar el valor de un conjunto indicando la pertenencia o no pertenencia a uno diferente, por ejemplo

L={ 1, 3, 4, 6, 9 }

P={ x/x Î N ; X Ï L }

En el conjunto P se indica que los elementos x de un conjunto pertenecen a los números naturales y además x no pertenece al conjunto L.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNION

La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:

A È B = { x/x Î A ó x Î B }

Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }

A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }

INTERSECCION

Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }

Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe así:

A Ç B = { x/x Î A y x Î B }

Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

Ejemplo:

Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }

Q Ç P={ a, b, o, r, s, y }

CONJUNTO VACIO

Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ .

Por ejemplo:

Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B.

A Ç B= { }

El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:

A Ç B=Æ

CONJUNTOS AJENOS

Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:

Si A Ç B = Æ entonces A y B son ajenos.

COMPLEMENTO

El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como:

A'={ x Î U/x y x Ï A }

Ejemplo:

Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U

El complemento de A estará dado por:

A'= { 2, 4, 6, 8 }

DIFERENCIA

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:

A - B={ x/x Î A ; X Ï B }

Ejemplo:

Sea A= { a, b, c, d } y

B= { a, b, c, g, h, i }

A - B= { d }

En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es

B – A = { g, h, i }

E indica los elementos que están en B y no en A.

DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn que de deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.

La manera de representar el conjunto Universal es un rectángulo, ó bien la hoja de papel con que se trabaje.

Un ejemplo de la representación del conjunto universal se muestra como:

A.D. - MILDRED ANDREA CANO VILLATORO

ANÁLISIS 

DIMENSIONAL

Es una rama de las matemáticas aplicada a la Física que se encarga de estudiar las distintas formas en que se relacionan las magnitudes fundamentales con las magnitudes derivadas y éstas con sus unidades, lo que ha provocado el desarrollo de leyes,reglas y propiedades.

Un análisis correcto de las unidades o dimensiones  de las magnitudes físicas permiten:

• Relacionar una magnitud física derivada con otras elegidas como fundamentales.
• Establecer el grado de verdad de una fórmula.
• Elaborar fórmulas empíricas para fenómenos de simple desarrollo.

Las ecuaciones deducidas a partir de las Leyes Físicas son siempre homogéneas desde un punto de vista dimensional, es decir, todos sus términos tienen las mismas dimensiones y las constantes numéricas que en ellas pueden figurar son adimensionales.

Una ecuación así es válida en cualquier sistema de unidades. Además, si en una ecuación de este tipo se dividen todos los términos por uno de ellos, se transformarán en razones adimensionales.

Una combinación de variables tal que sus dimensiones se anulan recibe el nombre de " número, grupo o razón adimensional" y su valor es siempre el mismo, sin importar el sistema de unidades que se utilice.

Por el contrario, como resultado de la experimentación puede llegarse a ecuaciones empíricas sin prestar atención a su coherencia dimensional, es decir, a ecuaciones cuyos dos miembros sean aparentemente de distintas dimensiones. Estas ecuaciones sólo serán válidas cuando se empleen las unidades con las que se ha deducido.

Ejemplo:

En la transmisión de calor desde un tubo horizontal, el coeficiente de película h, vale:

.

En este caso, la constante 0,50 tiene dimensiones, puesto que las del primer miembro son distintas a las del segundo, y por tanto, la ecuación no será válida en otro sistema de unidades.

En el S.I. la ecuación se transforma en la siguiente: h = 1,312 (T/D)^0,25

En el estudio de las Operaciones Básicas, aparecen con frecuencia fenómenos en los que intervienen un gran número de variables, y en los que es difícil llegar a una ecuación que los represente, bien por dificultad en la integración de la ecuación diferencial que las liga, o bien porque se requeriría una experimentación desmesurada. (v.g: Tubería, calor).

El análisis dimensional es simplemente un instrumento matemático que, una vez conocidas todas las variables que intervienen en un determinado fenómeno, permite agruparlas en un reducido número de grupos adimensionales, mediante los cuales se simplifica y hace asequible la experimentación conducente a establecer la relación funcional entre las indicadas variables.

Los principios fundamentales del análisis dimensional son tres:

1.- Todas las magnitudes físicas pueden expresarse como funciones potenciales de un reducido número de magnitudes fundamentales.

2.- Las ecuaciones que relacionan las magnitudes físicas son homogéneas desde un punto de vista dimensional.

3.- Toda ecuación dimensionalmente homogénea puede reducirse a una relación entre una serie completa de razones o números adimensionales.

Hay varios métodos para el análisis dimensional. Como más intuitivo veremos sólo el de Rayleigh. Para el mismo, se siguen ordenadamente los pasos :

1.- Se establecen las variables que intervienen en el fenómeno de que se trate.

2.- Se expresa una de ellas, la de mayor interés, como función potencial de las restantes y de las posibles constantes adimensionales.

3.- Se sustituyen todas las variables por sus dimensiones y se establecen las ecuaciones de homogeneidad para cada una de las magnitudes fundamentales.

4.- Si el sistema de magnitudes elegido tiene p magnitudes fundamentales, nos quedará un sistema de p ecuaciones con n (nº de variables independientes) incógnitas. Se eligenn-p incógnitas y se resuelve el sistema para hallar el valor de los p exponentes restantes en función de los elegidos.

5.- Se sustituyen los valores de los p exponentes en la función y se agrupan las magnitudes elevadas a los mismos exponentes, resultando una razón adimensional elevada a un exponente unidad, y n-p razones adimensionales elevadas cada una a los exponentes elegidos.

Hay que destacar que la forma de la ecuación final depende de los exponentes elegidos, pero, sin embargo, los nuevos grupos adimensionales que se obtendrían serían combinación lineal de los grupos primeros existentes.

Hace falta experiencia para el análisis dimensional. En los problemas de transmisión de calor se toma, a veces, la temperatura y el calor como magnitudes fundamentales, con lo que éstos se simplifican. Si no se está seguro, y se incluye una variable indebida, ésta no ejerce influencia significativa en el problema y su exponente será nulo. Si se omite, en cambio, una variable importante, se encontrará que no hay una relación única entre los grupos adimensionales.

Los problemas de cambio de escala se facilitan enormemente mediante el análisis dimensional.  

T.C.-Patrick Emanuel Martinez Mendoza

Teoría de Conjuntos

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z.

Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas (,).

El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos.

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:

El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:

{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }

En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:

El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.

UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL: El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

Por ejemplo si sólo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:

U={ 1, 2, 3, 4, 5 }

Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:

• Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde

N={ 1, 2, 3, .... }

• Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde

Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

• Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones }). Estos números se representan por una Q
• Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.
• Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.

                               OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNIÓN: La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:

A È B = { x/x Î A ó x Î B }

Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }

A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }

INTERSECCIÓN: Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }

Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe así:

A Ç B = { x/x Î A y x Î B }

Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

Ejemplo:

Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }

Q Ç P={ a, b, o, r, s, y }

CONJUNTO VACÍO: Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ .

Por ejemplo:

Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B.

A Ç B= { }

El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:

A Ç B=Æ

COMPLEMENTO: El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como:

A'={ x Î U/x y x Ï A }

Ejemplo:

Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U

El complemento de A estará dado por:

A'= { 2, 4, 6, 8 }

DIFERENCIA: Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:

A - B={ x/x Î A ; X Ï B }

Ejemplo:

Sea A= { a, b, c, d } y

B= { a, b, c, g, h, i }

A - B= { d }

En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es

B – A = { g, h, i }

E indica los elementos que están en B y no en A.

DIAGRAMAS DE VENN: Los diagramas de Venn que de deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.

La manera de representar el conjunto Universal es un rectángulo, ó bien la hoja de papel con que se trabaje.

Un ejemplo de la representación del conjunto universal se muestra como:

LINK para un mejor detalle de la teoría y representación de conjuntos.

http://es.slideshare.net/xavierzec/teoria-de-conjuntos-8430633

T.C. - MILDRED ANDREA CANO VILLATORO

TEORÍA DE CONJUNTOS

¿Qué es un conjunto? 

Es muy importante en todas las ramas de las matemáticas porque es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación.

Un conjunto es:

• Una lista
• Colección 
• Clase de objetos bien definidos (Números, personas, letras, ríos, etc.)

 Notación de conjuntos:

• Denotar conjuntos por letras mayúsculas (A, B, C, X, Y, Z...).
• Los elementos de los conjuntos se representan por letras minúsculas (a, b, c, x, y, z...).
• Al definir un conjunto por efectiva enumeración de los elementos, por ejemplo, el A, que consiste en los números 1, 3, 7 y 10, se escribe

                                     A={1, 3, 7, 10}

Se escriben los elementos separados por comas y encerrándolos en llaves {}.

• La Fórmula Tabular  de un conjunto. Se define un conjunto enunciando propiedades que deben tener sus elementos como por ejemplo, el B, conjuntos de todos los números pares, entonces se emplea una letra, por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se escribe:

                                       B= {x/x es para}

Lo que se lee "B es el conjunto de los números x tales que x es par". Se dice que ésta es la forma de definir para una comprensión constructiva de un conjunto. 

• Si un objeto x es el elemento de un conjunto A, es decir A contiene a x como uno de sus elementos, se escribe:

                                             x ∈ A

se lee, "x pertenece a A" o "x está en A".

• Si un objeto x no es el elemento de un conjunto A, es decir , si A no contiene a x entres sus elementos, se escribe:

                                              x ∉ A

se lee, "x no pertenece a A" o "x no está en A".

Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:

 1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves. 

2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es: A = { x P(x) }= {x1 x, 2 x, 3 , ⋅⋅⋅ x, n } que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x) es verdadera, como 1 2 3 x x, x, , etc. . 

3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos 2.

 4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos.  

CONJUNTOS CON NOMBRES ESPECÍFICOS 

• Un conjunto vacío o nulo es aquel que no posee elementos. Se denota por: φ o bien por { }. El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.  

Ejemplo:

φ = { x /x son los dinosaurios que viven en la actualidad } 

{ }= { x /x son los hombres mayores de 300 años } 

φ = { x /x son números positivos menores que cero} 

• Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se denota por U . Gráficamente se le representará mediante un rectángulo.  

Ejemplos:

 U = { x /x son los días de la semana }= {lunes,martes,miércoles, jueves,viernes,sábado ,domingo } 

A = { x /x son los días de la semanainglesa}= {lunes,martes,miércoles, jueves,viernes} 

B = { x /x son los días del fin de semana }= {sábado,domingo }

 C = { x /x son los días de la semana con menos de siete letras}= {lunes,martes, jueves,sábado} 

Nótese cómo: A ⊂ U , B ⊂ U , C ⊂ U

• Un conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados. 

Ejemplo:

J = { x /x es el número de un día del mes de junio }

• Un conjunto infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su cardinalidad no está definida. 

Ejemplos:

N = {1,3,5,7,9,11,⋅⋅⋅}

 M = {2,4,6,8,10,12,⋅⋅⋅}

 Q = { x /x es la cantidad de puntos en una línea } 

• Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo = . 

Ejemplo:

 R = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} 

S = { x /x es un dígito } 

R = S

• Dos conjuntos son desiguales si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo ≠ .

• Dos conjuntos son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la misma cardinalidad. Se denota por el símbolo ≈ .

 Ejemplos:

W = {x /x son las estaciones del año } 

Z = {x /x es un punto cardinal } 

η(W ) = 4 

η(Z) = 4 

W ≈ Z

Nota: Cuando los conjuntos son equivalentes existe una correspondencia uno a uno o biunívoca. Esto significa que se puede establecer una relación que asocie a cada elemento del primer conjunto con un único elemento del segundo conjunto sin que sobren elementos en ningún conjunto.

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS 

Sean los conjuntos ,A ,B C dentro del universo U . Las seis propiedades que rigen las operaciones con esos conjuntos son las siguientes: 

1. Propiedades de identidad: 

A∪ φ = A 

A∪U = U 

A∩U = A 

A∩φ = φ 

2. Propiedades de idempotencia:

 A∪ A = A 

A∩ A = A 

3.Propiedades de complemento:

 A∪ 'A = U 

A∩ 'A = φ 

4. Propiedades asociativas: 

(A∪ B)∪C = A∪ (B ∪C)

 (A∩ B)∩C = A∩ (B ∩C) 

5. Propiedades conmutativas:

A∪ B = B ∪ A 

A∩ B = B ∩ A 

6. Propiedades distributivas:

 A∪ (B ∩C) = (A∪ B)∩(A∪C)

 A∩(B ∪C) = (A∩ B)∪(A∩C)

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

 Además de relacionar los conjuntos a través de la contenencia y la igualdad, se pueden crear operaciones entre conujuntos.

-Unión de conjuntos:

Supongamos que tenemos los conjuntos  $M$ y $N$ definidos como se muestra en la siguiente figura:

Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos que pertenezcan a $M$ o a $N$.  A este nuevo conjunto le llamamos unión de $M$ y $N$, y lo notamos de la siguiente manera:$M\cup N$.  En la imagen de abajo puedes observar el resultado de unir los conjuntos $M$ y $N$.

Al elegir qué elementos estarán en la unión de nuestros conjuntos $M$ y $N$, debes preguntarte cuáles están en el conjunto $M$“o” en el conjunto $N$. 

 El resultado de la operación será el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal U${\displaystyle U}$, que cumplan la condición de estar en uno o en otro.   Tenemos en este caso: $M\cup N=\{a,c,b,g,e,1\}$

-Intersección de conjuntos:

Sigamos tomando como ejemplo los conjuntos $M$ y $N$ definidos anteriormente.  Podemos determinar un nuevo conjunto conformado por los elementos que nuestros conjuntos $M$y $N$ tienen en común.  A este nuevo conjunto le llamamos intersección de $M$ y $N$ y lo notamos de la siguiente manera: $M\cap N$.

Para determinar que elementos pertenecen a la intersección de los conjuntos $M$ y $N$ te puedes preguntar qué elementos están en $M$ “y” en  $N$.  Todos los elementos del conjunto $U$ que cumplan esta condición deberán estar en el conjunto $M\cap N$.  En la figura de la arriba podemos ver la intersección de nuestros conjuntos $M$ y $N$, tenemos que $M\cap N=\left\{b\right\}$.

-Diferencia de conjuntos:

Además de la unión y la intersección podemos realizar la diferencia de conjuntos.  En este caso se deben seleccionar los elementos de un conjunto que no estén en el otro.  Por ejemplo, si realizas la operación $M$ menos $N$, debes seleccionar los elementos de $M$ que no están en $N$.  Representamos la diferencia M menos N así: $M\backslash N$.  Observa que en este caso $M\backslash N=\{a,c\}$.

-Diferencia Simétrica de conjuntos:

Que el nombre esta operación no te alarme, también es muy sencilla.  En esta ocasión se deben escoger los elementos de $M$ que no están en $N$, y los elementos de $N$ que no están en $M$.  Puedes ver el resultado de ladiferencia simétrica entre $M$ y $N$ en la figura de la izquierda.  Representamos la diferencia simétrica a través del símbolo $\Delta$.  En el caso de nuestros conjuntos $M$ y $N$tenemos: $M\Delta N=\{a,c,g,1,e\}$.

-Complemento de un conjunto:

  Se dice que el complemento de $M$ es el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal $U$, que no pertenecen al conjunto $M$.  Es común usar los símbolos $M^c$, $\overline{M}$ o $M\text{'}$ para representar el complemento del conjunto $M$, nosotros usaremos el símbolo $M^c$.  En nuestro caso tenemos $M^c=\{j,f,g,1,e,i,h\}$ y $N^c=\{i,h,j,f,a,c\}$.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS: 

1. Los conjuntos se pueden representar gráficamente mediante curvas cerradas, conocidas con el nombre de diagramas de venn, y para poder interpretarlos correctamente hay que observar lo siguiente:
elementos que pertenecen al conjunto se representan por puntos interiores a la curva.

2. Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan por puntos exteriores a la curva.

3. Ningún punto se representa sobre la curva.

4. El conjunto referencial R se representan por un rectángulo para diferenciarlos de los otros diagramas.

si R = (1,2,3,4,5,6,7,8) y A= (4,5,6)

Los conjuntos son de suma importancia para la toma de decisiones en nuestra vida académica, monetaria e intelectual, en ellos podemos encontrar respuesta a los problemas que se nos presenten al hacer una Auditoría, realizándo un proceso ordenado y sistemático.