TC Dinora Lopez

TEORÍA DE CONJUNTOS 

La idea de agrupar objetos de la misma naturaleza para clasificarlos en “colecciones” o “conjuntos” es parte de la vida diaria de los seres humanos. Por ejemplo, el conjunto de libros de una biblioteca, el conjunto de árboles en un terreno, el conjunto de zapatos en un negocio de venta al público, el conjunto de utensilios en una cocina, etcétera. En todos estos ejemplos, se utiliza la palabra conjunto como una colección de objetos.

El concepto de Conjunto, entonces, está referido a reunir o agrupar personas, animales, plantas o cosas, para estudiar o analizar las relaciones que se pueden dar con dichos grupos.

Diagrama de Venn y entre llaves.

Es habitual representar los conjuntos en forma gráfica mediante los Diagramas de Venn.

En estos diagramas el conjunto se representa mediante una superficie limitada por una línea. En su interior se colocan los elementos del conjunto. Cada porción del plano limitada se nombra con una letra mayúscula.

El conjunto A está formado por los elementos 1, 2, 3. 

El conjunto B está formado por los elementos a, b, c, d.

Existe, además, otra forma de representarlos que es entre llaves.

En estos ejemplos se escribe:

A = {1, 2, 3}

B = {a, b, c, d}

Por diagrama	Entre llaves
	S = {a, e, i, o, u} Se escribe una coma para separar los elementos.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Intersección de conjuntos ()

La intersección entre dos o más conjuntos es otro conjunto formado por los elementos comunes a ellos; es decir, a los elementos comunes o repetidos de ambos conjuntos A y B.

La intersección se simboliza con el signo y se coloca entre las letras que representan a cada conjunto.

                                          

Conjunto A = {3, 8, 24}

Conjunto B = {13, 7, 8, 12}

Los elementos que se repiten entre A y B son: 3 y 8. Estos elementos se anotan en la parte de color amarillo pues representa el lugar común entre ambos conjuntos.

Otro ejemplo:                             

B =  { a, b, c, d, e, f }

C =  { a, d, f, g, h }

B    C  = { a, d, f }

En el diagrama de Venn la parte ennegrecida representa la intersección de B y C.

Unión de conjuntos: La unión de dos o más conjuntos es otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a uno u otro conjunto o a ambos.

La unión se representa por el símbolo  Si un elemento está repetido, se coloca una sola vez.

Cuando no hay elementos comunes o repetidos (esquema 1) se anotan todos los elementos en un solo conjunto (una sola figura cerrada):

A  B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Si hay elementos repetidos, éstos se anotan en   la zona común a ambos conjuntos (esquema 2), donde se juntan ambas figuras cerradas:

W  Z = {9, 6, 8, 5, 7}.

TIPOS DE CONJUNTOS 

Conjunto Disjunto, Conjunto Subconjunto

1) Conjuntos disjuntos: Son aquellos conjuntos que no tienen elementos en común.

Por ejemplo:              

El conjunto A tiene como elementos a los números 1, 2 y 3. El conjunto B tiene como elementos a las letras a, b, c y d. No hay elementos comunes entre los conjuntos A y B. En otras palabras, ningún elemento del conjunto A pertenece al conjunto B; a su vez, ningún elemento de B pertenece al conjunto A.

En consecuencia, los conjuntos A y B son disjuntos.

Tomando otro ejemplo:

Si  E = { pizarrón, tiza, borrador} (Conjunto E formado por pizarrón, tiza, borrador)

     F =  { tiza, profesor, regla}   (Conjunto F formado por tiza, profesor, regla)

G = { niño, cuaderno, sala, lápiz } (Conjunto G formado por niño, cuaderno, sala, lápiz)

E y G son conjuntos disjuntos porque: pizarrón, tiza, borrador no pertenecen al conjunto G.  

E y F no son disjuntos ya que  tiza pertenece a  E y también a  F.

F y G son conjuntos disjuntos porque: tiza, profesor, regla no pertenecen a G, y niño, cuaderno, sala, lápiz no pertenecen a F.

2) Conjunto Subconjunto: Un conjunto es subconjunto de otro si todos los elementos de un conjunto también pertenecen al otro.

Si se tienen los siguientes conjuntos:

P = { a, e, i, o, u }                 y                    R = { a, i } 

R es subconjunto de P porque todos los elementos de R están en P.

En general, para expresar que un conjunto es subconjunto de otro conjunto se pone entre ellos el símbolo  . En este ejemplo se escribe:

R   P

Se lee “ R es subconjunto de P”

no es subconjunto de otro cuando al menos un elemento del primero no pertenece al segundo conjunto. El símbolo que representa la frase “no es subconjunto de“ es .

Si se tienen los siguientes conjuntos:

C =  { 3, 5, 7, 9 }                 y                   H =  { 3, 5, 8  }

H no es subconjunto de C porque el elemento 8 no pertenece al conjunto C. Se escribe:

H   C

Se lee “ H no es subconjunto de C”

También los subconjuntos pueden representarse mediante Diagramas de Venn.

Ejemplo:

                                 S      C

Propiedades de la relación subconjunto

1.- Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.

                    Si   T =  { x, z, y, z  }, se tiene que  T  T

2.- El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto (el conjunto vacío es aquel que no tiene elementos; se representa por: { } o bien por Ø

Si se tiene el conjunto B se puede establecer que   Ø    T

CONJUNTO UNIVERSO 

  En el Diagrama de Venn de la izquierda se puede observar que el conjunto U contiene a los conjuntos M y N. U es el conjunto universo porque es un conjunto que contiene a todos los conjuntos.

Otro ejemplo:

Sea  Y  =   { enero, febrero }  ;    Ñ  =  { marzo, junio, agosto }

El conjunto universo será:              U  =  {  meses del año }