Jenni Castro

Lógica Proposicional

Es una rama de la lógica clásica que estudia las variables proposicionales o sentencias lógicas, sus posibles implicaciones, evaluaciones de verdad y en algunos casos su nivel absoluto de verdad. Algunos autores también la identifican con la lógica matemática o la lógica simbolice, ya que utiliza una serie de símbolos especiales que lo acercan al lenguaje matemático.

Proposiciones

Intuitivamente una proposición expresa un contenido semántico a la que bajo cierto procedimiento acordado o prescrito es posible asignarle un valor de verdad, usualmente "cierto" o "falso".

Proposiciones simples y compuestas

Recordamos que una proposición es una oración declarativa a la cual se le puede asociar un valor de verdad.

Para representar proposiciones usaremos las letras p, q, r,...

Por ejemplo

p = el sol brilla todo el día

q = hace frío

son proposiciones simples.

Así como en álgebra las variables que representan cantidades pueden formar expresiones más complejas mediante el uso de las operaciones básicas de aritmética y algunas funciones, en lógica podemos relacionar proposiciones mediante los conectivos lógicos.

Los conectivos lógicos son símbolos usados para combinar proposiciones simples dadas, produciendo así otras llamadas proposiciones compuestas.

Los conectivos lógicos que usaremos son

• ~ negación
• ${\displaystyle \vee }$ disyunción
• ${\displaystyle \wedge }$ conjunción
• ${\displaystyle \rightarrow }$ condicionante
• ${\displaystyle \leftrightarrow }$ bicondicionante

Tablas de Verdad

Definimos una tabla de verdad como un arreglo que nos permite tener los posibles valores de verdad de una proposición compuesta a partir de los valores de verdad de las proposiciones simples.

Las tablas de verdad para los conectivos lógicos listados arriba son las siguientes:

Negación

La negación de una proposición es una nueva proposición que tiene un valor de verdad opuesto a la proposición original. Es decir, si el valor de verdad de una proposición p es verdadero, entonces el valor de verdad de ~p es falso.

La tabla de verdad para el conectivo ~ está dada por

p	~p
V	F
F	V

Disyunción

La disyunción es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo ${\displaystyle \vee }$.

Esta proposición compuesta de denota por ${\displaystyle p\vee q}$ y se lee p o q.

La tabla de verdad para el conectivo ${\displaystyle \vee }$ está dada por

p	q	${\displaystyle p\vee q}$
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Se puede ver que para que una proposición compuesta ${\displaystyle p\vee q}$ tenga valor de verdad verdadero, basta con una de las proposiciones simples tenga valor de verdad verdadero.

Conjunción

La conjunción es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo ${\displaystyle \wedge }$.

Esta proposición compuesta de denota por ${\displaystyle p\wedge q}$ y se lee p y q.

La tabla de verdad para el conectivo ${\displaystyle \wedge }$ está dada por

p	q	${\displaystyle p\wedge q}$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Se puede ver que para que una proposición compuesta ${\displaystyle p\wedge q}$ tenga valor de verdad verdadero, ambas proposiciones simples deben tener valor de verdad verdadero.

Condicionante

La condicional es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo ${\displaystyle \rightarrow }$.

Esta proposición compuesta de denota por ${\displaystyle p\rightarrow q}$ y se lee p implica q.

En esta proposición compuesta, la proposición simple p se llama antecedente, mientras que la proposición simple q se llama consecuente.

La tabla de verdad para el conectivo ${\displaystyle \rightarrow }$ está dada por

p	q	${\displaystyle p\rightarrow q}$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Se puede ver que una proposición compuesta ${\displaystyle p\rightarrow q}$ tiene valor de verdad falso solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En cualquier otro caso, el valor de verdad de la proposición compuesta es verdadero.

Bicondicionante

La bicondicional es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo ${\displaystyle \leftrightarrow }$.

Esta proposición compuesta se denota por ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$ y se lee p si y solo si q.

La tabla de verdad para el conectivo ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$ está dada por

p	q	${\displaystyle p\leftrightarrow q}$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Se puede ver que la proposición compuesta ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$ tiene valor de verdad verdadero siempre que las proposiciones simples tienen el mismo valor de verdad. Es cualquier otro caso, la proposición compuesta tiene valor de verdad falso.