T_C  Amparo Misdenia López Samayoa ❣

TEORÍA DE CONJUNTOS

Un conjunto: es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a Î A. 

En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aÏ A. Ejemplos de conjuntos:  

• Æ: el conjunto vacío, que carece de elementos.
• N: el conjunto de los números naturales.
• Z: el conjunto de los números enteros.
• Q: el conjunto de los números racionales.
• R: el conjunto de los números reales.
• C: el conjunto de los números complejos.

Se puede definir un conjunto:

• por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
• por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:

• A := {1,2,3, ... ,n}
• B := {pΠZ | p es par}

Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A Í B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a Î A Þ a Î B.

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A Í B y B Í A; esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).

Para cualquier conjunto A se verifica que ÆÍ A y A Í A;B Í A es un subconjunto propio de A si A  ¹ Æ y B  ¹ A.

El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota Ã (A).

Entonces, la relación B Í A es equivalente a decir B Î Ã (A). 

Ejemplos:  

Si A = {a,b} entonces Ã (A) = {Æ ,{a},{b},A}.

Si a Î A entonces {a} Îà(A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Hay tres  formas de determinar conjuntos.

• Forma Enumerativa, por Extensión ó Forma Tabular:

La representación enumerativa de un conjunto consiste en escribir uno a uno los elementos que conforman un conjunto dado.

Ejemplo:

A = { a, e, i, o, u }

B = { 0, 2, 4, 6, 8 }

C = { c,o , n, j, u, t, s } En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.

• Por Comprensión ó Forma Descriptiva:

Esta forma consiste en determinar la característica común entre los elementos que posee un conjunto. 

Ejemplo:

A = { x/x es una vocal }

B = { x/x es un número par menor que 10 }

C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }

• Forma Gráfica:

En esta forma se representa mediante una superficie limitada por una línea. En su interior se colocan los elementos del conjunto. Cada porción del plano limitada se nombra con una letra mayúscula.

Ejemplo:

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

DIFERENCIA: Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A - B := {a Î A | a Ï B}. 

DIFERENCIA SIMÉTRICA: Así mismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A D B := (A - B) È (B - A).

COMPLEMENTARIO: Si A Î Ã (U), a la diferencia U - A se le llama complementario de A respecto de U, 

y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).

Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:

• Æ ' = U .
• U ' = Æ .
• (A')' = A .
• A Í B Û B' Í A' .
• Si A = { x Î U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x Î U | p(x) es una proposición falsa}.

UNIÓN: Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B, 

es decir: A È B := { x | x Î A Ú x Î B}.

INTERSECCIÓN: Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, es decir: A Ç B := {x | x Î A Ù x Î B}.

OPERACIONES BOOLEANAS: Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A - B = A Ç B'. 

En este caso, las llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades:

PROPIEDADES	UNIÓN
1.- Idempotencia	A È A = A
2.- Conmutativa	A È B = B È A
3.- Asociativa	A È ( B È C ) = ( A È B ) È C
4.- Absorción	A È ( A Ç B ) = A
5.- Distributiva	A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C )
6.- Complementariedad	A È A' = U

PROPIEDADES	INTERSECCIÓN
1.- Idempotencia	A Ç A = A
2.- Conmutativa	A Ç B = B Ç A
3.- Asociativa	A Ç ( B Ç C ) = ( A Ç B ) Ç C
4.- Absorción	A Ç ( A È B ) = A
5.- Distributiva	A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C )
6.- Complementariedad	A Ç A' = Æ

DIAGRAMAS DE VENN

Los conjuntos de suelen representar gráficamente mediante "diagramas de Venn", con una línea que encierra a sus elementos. 

Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva.

A Í B

A È B

A Ç B

A - B

A D B

RELACIÓN ENTRE LA TEORÍA DE CONJUNTOS Y LA LÓGICA PROPOSICIONAL

Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Proposicional. 

Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A,B ... los conjuntos y por las correspondientes minúsculas a,b ... sus propiedades características (es decir, la proposición lógica que caracteriza a los elementos de cada conjunto); entonces se tiene la siguiente correspondencia: 

conjuntos	A Í B	A = B	A È B	A Ç B	A'	A - B	A D B
proposiciones	a Þ b	a Û b	a Ú b	a Ù b	a'	a Ù b'	a Ú b

Además, el conjunto vacío se corresponde con una contradicción y el conjunto universal con una tautología. 

Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos se pueden reescribir en términos de lógica proposicional y viceversa.

     Ejemplo:

A È ( A Ç B ) = A	a Ú ( b Ù c ) Û a
A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C )	a Ú ( b Ù c ) Û ( a Ú b ) Ù ( a Ú c )
( A È B )' = A' Ç B'	( a Ú b )' Û a' Ù b'