TC Jennifer Castro

Teoría de Conjuntos

La teoría de conjuntos se entiende como un contenido del área de matemáticas pero sus utilidades van mucho más allá del desarrollo del pensamiento lógico matemático. Comprender la teoría de conjuntos nos permite utilizar los conjuntos como herramienta para analizar, clasificar y ordenar los conocimientos adquiridos desarrollando la compleja red conceptual en que almacenamos nuestro aprendizaje.

Así existen cuatro formas de las cuales podemos definir los conjuntos:

Extensión o enumeración: sus elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Cada conjunto describe un listado de todos sus elementos.
Comprensión: sus elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves.
Diagramas de Venn: regiones cerradas que nos permiten visualizar las relaciones entre los conjuntos.
Descripción verbal: se trata de un enunciado que describe una característica común a todos los elementos del conjunto.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Unión de Conjuntos

Sean $A$ $A$ y $B$ $B$ dos conjuntos. Se define la unión de $A$ $A$ con $B$ $B$ , denotada por $A\cup B$ $A\cup B$ (que se lee A unión B), por el conjunto

$A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}$

En un Diagrama de Venn, la unión de dos conjuntos $A$ $A$ y $B$ $B$ , dependiendo de cómo se relacionan entre ellos, se ve como sigue:

En términos prácticos, la unión de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos de cualquiera de los dos conjuntos.

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos $A=\{1,2,3,4,5\}$ $A=\{1,2,3,4,5\}$ y $B=\{3,4,5,6,7,8\}$ $B=\{3,4,5,6,7,8\}$ , la unión de ellos es el conjunto

$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$

Propiedad de la unión de conjunto

La unión de conjunto cumple la siguiente propiedad.

$A\cup A=A$ $A\cup A=A$
$A\cup B=B\cup A$ $A\cup B=B\cup A$
$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$
$A\cup \phi =A$ $A\cup \phi =A$
Si $A\subseteq B\Rightarrow A\cup B=B$ $A\subseteq B\Rightarrow A\cup B=B$

Intersección de Conjuntos

Sean $A$ $A$ y $B$ $B$ dos conjuntos. Se define la intersección de $A$ $A$ y $B$ $B$ , denotada por $A\cap B$ $A\cap B$ (que se lee A intersección B), por el conjunto

$A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}$

En un Diagrama de Venn, la intersección de dos conjuntos $A$ $A$ y $B$ $B$ , dependiendo de cómo se relacionan entre ellos, se ve como sigue:

Intersección de Conjuntos

En términos prácticos, la intersección de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos comunes a ambos conjuntos.

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ y $B=\{4,5,6,7\}$ $B=\{4,5,6,7\}$ , el conjunto intersección es

$A\cap B=\{4,5,6,7\}$

Nota: Dos pares de conjuntos $A$ $A$ y $B$ $B$ se llaman disjuntos siempre que $A\cap B=\phi$ $A\cap B=\phi$ .

Propiedades de la intersección de conjuntos

La intersección de conjuntos cumple con las siguientes propiedades

$A\cap A=A$ $A\cap A=A$
$A\cap B=B\cap A$ $A\cap B=B\cap A$
$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$ $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$
$A\cap \phi =\phi$ $A\cap \phi =\phi$
Si $A\subseteq B\Rightarrow A\cap B=A$ $A\subseteq B\Rightarrow A\cap B=A$

Diferencia de Conjuntos

Sean $A$ $A$ y $B$ $B$ dos conjuntos. Se define la diferencia de $A$ $A$ con $B$ $B$ , denotada por $A-B$ $A-B$ (que se lee A menos B), por el conjunto

$A-B=\{x:x\in A\wedge x\notin B\}$

En un Diagrama de Venn, la diferencia de $A$ $A$ con $B$ $B$ , dependiendo de cómo se relacionan los conjuntos, se ve como sigue:

Diferencia entre Conjuntos

En términos prácticos, la diferencia de un conjunto $A$ $A$ con un conjunto $B$ $B$ , en ese orden, es el conjunto formado por todos los elementos que están en $A$ $A$ pero no en $B$ $B$

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ y $B=\{3,5\}$ $B=\{3,5\}$ , entonces el conjunto diferencia de $A$ $A$ con $B$ $B$ es

$A-B=\{1,2,4,6\}$

Complemento de un Conjunto

Sea $A$ $A$ un conjunto dentro de un conjunto universo $U$ $U$ . Se define el complemento de $A$ $A$ , denotado por $A^{c}$ $A^{c}$ (que se lee A complemento), al conjunto

$A^{c}=\{x:x\notin A\}$

En un Diagrama de Venn, el complemento de un conjunto se ve como sigue:

Complemento de un Conjunto

En términos prácticos, el complemento de un conjunto es todo lo que no está en el conjunto.

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos $U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ $U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ y $A=\{1,3,5,7,9\}$ $A=\{1,3,5,7,9\}$ , entonces el complemento de $A$ $A$ es el conjunto

$A^{c}=\{0,2,4,6,8\}$

Propiedades del complemento de un conjunto

El complemento de un conjunto cumple las siguientes propiedades

$(A^{c})^{c}=A$ $(A^{c})^{c}=A$
$U^{c}=\phi$ $U^{c}=\phi$
$\phi ^{c}=U$ $\phi ^{c}=U$
$A\subseteq B\Rightarrow B^{c}\subseteq A^{c}$ $A\subseteq B\Rightarrow B^{c}\subseteq A^{c}$

Propiedades Combinadas

Se cumplen las siguientes propiedades entre conjuntos

$A-B=A\cap B^{c}$ $A-B=A\cap B^{c}$
$A\cap A^{c}=\phi$ $A\cap A^{c}=\phi$
$A\cup A^{c}=U$ $A\cup A^{c}=U$

Leyes de distribución

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$