L.P. Carlos de León

Lógica Proposicional

Lógica

Es una ciencia que estudia el lenguaje científico, su planteamiento, su organización, en entidades jerárquicas y los métodos como sus fórmulas para analizar toda forma escrita. Para comunicarse el ser humano utiliza lenguajes discursivos dichos lenguajes están llenos de partículas lógicas. Las partículas lógicas: fundamentalmente son los cuantificadores las conectivas con ellas se forman los discursos.

Lógica Proposicional

Es una rama de la lógica clásica que estudia las variables proposicionales o sentencias lógicas, sus posibles implicaciones, evaluaciones de verdad y en algunos casos su nivel absoluto de verdad. Algunos autores también la identifican con la lógica matemática o la lógica simbolice, ya que utiliza una serie de símbolos especiales que lo acercan al lenguaje matemático.

Proposiciones

• Tautología: se define tautología o validez a aquella formula que siempre es verdadera.
• Contradicción: es una proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad. Para cualquier valor de verdad de las proposiciones, sea cual sea el resultado de la formula lógica estudiada siempre va a ser falso.
• Conjunción: es aquella formula que es falsa o verdadera. Las expresiones de las que depende la validez de los argumentos se definen constante lógicas.

Conectores Lógicos

Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:

NEGACIÓN
Palabras conectivas: no, no es cierto que, no es verdad que, nunca, carece de, sin, etc.
Prefijos negativos: a, des, in, i.
Condición: lo V se transforma en F (y al revés) P -p








CONJUNCIÓN: .
Palabras conectivas: y, aunque, pero, mas, también, sin embargo, además, etc.
Condición: es V cuando ambas son V.

Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado "el auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente en la batería"
Sean:
p= tiene gasolina el tanque
q = tiene corriente la batería
r = el auto enciende = p ^ q
La conclusión resultante es que para que el auto encienda se debe tener gasolina en el tanque y corriente en la batería, sino se tiene una de estas dos condiciones el auto no arrancará.

DISYUNCIÓN INCLUSIVA

Una, otra o ambas a la vez. (y/o)

Palabras conectivas: o

Condición: es F cuando las dos son F.

Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra boleto u obtiene un pase"
Sean:
p= compra boleto
q = obtiene un pase
r = una persona entra al cine = p v q
La conclusión resultante es obvia, puesto que para entrar al cine es necesario tener por lo menos una de las dos condiciones: comprar un boleto o tener un pase, si se tiene ambas también se puede entrar, si no tengo ninguna de las dos alternativas entonces no se puede entrar al cine.

LA CONDICIONAL

Palabras conectivas: Si ..p.. entonces ..q.. Si ..p.. , ..q.. Cuando .......p............. , ......q.. Siempre ......p............. , ....q.. Es condición suficiente..p..para que..q.. .........q........ sólo si ......p....... Es condición necesaria...q..para que..p..

Condición: es falsa sólo si el antecedente (p) es V y el consecuente (q) es F.
Ejemplo:
Si se tiene lo proposición "Si un cuerpo se calienta, entonces se dilata", se observa que estamos diciendo es que la primera proposición "si el cuerpo se calienta" implica a la segunda proposición " entonces se dilata", pero no se afirma que el antecedente es verdadero, ni el consecuente es verdadero, puede ser que el cuerpo no se calentó y el cuerpo se dilato por causa de otros factores ajenos a la temperatura, un golpe

LA BICONDICIONAL

Palabras conectivas: si y sólo si; cuando y sólo cuando; es equivalente a; es condición suficiente y necesaria para; etc.
Condición: son verdaderas si ambas proposiciones tienen el mismo "valor de verdad".

Negación proposicional

Es un operador lógico de la forma "no es el caso que" y que transforma una proposición p en otra con valor de verdad contrario. Ejemplo: si p es la proposición "el número n es impar" la negación de p es "no es el caso que el número n es impar" (es decir, "el número n es par"). La negación de p se denota con ~p. La negación de p es verdadera si y sólo si p es falsa.

• Las proposiciones negadas más comunes y útiles  son:
• La negación de la disyunción pORq es ~p&~q
• La negación de la conjunción p&q es ~pOR~q
• La negación de la condicional p-->q es p&~q
• La negación de la negación ~p es p

Leyes de Morgan

Las Proposiciones 

Una proposición es una afirmación que puede recibir un valor de verdad falso (F), o bien verdadero (V), pero no ambos a la vez. 

Su denotación generalmente la encontramos con las letras (p, q, r) 

Conectores Lógicos 

Podemos formar nuevas proposiciones a partir proposiciones dadas mediante el uso de conectivos lógicos. Algunos de ellos son: 

^ “y” conjunción 

v “o” disyunción 

-> “si —, entonces” implicación 

<-> “si y sólo si” doble implicación 

¬ “no” negación 

Leyes de Morgan 

Son una parte de la Lógica proposicional, analítica ,y fueron creada por Augustus de Morgan. 

Estas declaran las reglas de equivalencia en las que se muestran que dos proposiciones pueden ser lógicamente equivalentes. 

Las Leyes de Morgan permiten: 

El cambio del operador de conjunción en operador de disyunción y viceversa. 

Las proposiciones conjuntivas o disyuntivas a las que se aplican las leyes de Morgan pueden estar afirmadas o negadas (en todo o en sus partes). 

Casos: 

¬(P ^ Q) ≡ (¬P v ¬Q) 

Si nos encontramos con una proposición conjuntiva totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición disyuntiva con cada uno de su miembros negados 

¬(P v Q) ≡ (¬P ^ ¬Q) 

Si nos encontramos con una proposición disyuntiva totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición conjuntiva con cada uno de sus miembros negados.

Implicación material I.M

Esta ley permite cambiar el conectivo principal de la proposicion “condicional” por “disyuncion”, pero negando el antecedente

(P → Q) ⇆ (~P v Q)

o bien

(P → Q) ⇆ ~(P ^ ~Q)

8.- Trasposición TRAS

La trasposición de una preposición condicional es una proposición con el mismo conectivo condicional cambiando las preposiciones antecedente y consecuente y negándolas respectivamente.

(P → Q) ⇆ (~Q → ~P)

9.- Exportación EXP

Cambia de conectivo de conjunción a condicional cuando el antecedente es una conjunción, y los agrupa de diferente manera al dejar el primer conjuntivo como antecedente de toda la preposición y pasar el segundo conjuntivo al consecuente de la proposición como parte de otra condicional.

[(P ^ Q) → R] ⇆ [P → (Q → R)]

10.- Equivalencia material E.M

La proposición bicondicional equivale a la conjunción de las proposiciones condicionales que forman parte de la bicondicional en ambos sentidos.

(P ⇆ Q) ⇆ [(P → Q) v (~Q → ~P)

(P ⇆ Q) ⇆ [(P → Q) ^ (Q → P)

Frase Celebre

"Las Matemáticas pueden ser definidas como aquel tema en el cual ni sabemos nunca lo que decimos ni si lo que decimos es verdadero."  Bertrand Russell (1872-1970)