LP Josè Villatoro

LÓGICA PROPORCIONAL

La proposición se le entiende como el significado de una idea, o un conjunto de palabras a estas se les puede asignar uno y solo uno de los valores de verdad, que puede ser: verdadero ( V ) o falso ( F ), pero no ambos valores a la vez.

Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t,... entre otras, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad:

P: Huehutenango es departamento de Guatemala   (V)

Q: Guatemala es de Centro América                       (V)

R: un minuto tiene 70 segundos.                             (F)

Considérese el siguiente enunciado :

1. Mañana es miércoles o mañana es jueves.
2. Mañana no es jueves.
3. Por lo tanto, mañana es miércoles.

Es un argumento valido. Quiere decir que es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Esto no quiere decir que la conclusión sea verdadera. Si las premisas son falsas, entonces la conclusión también podría serlo. Pero si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también lo es. La validez de este argumento no se debe al significado de las expresiones «mañana es miércoles» y «mañana es jueves», porque éstas podrían cambiarse por otras y el argumento permanece válido.

Clases de proposiciones

Existen dos clases de proposiciones:

PROPOSICIONES SIMPLES: también denominadas proposiciones atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir.

Ejemplos:

• El cielo es azul.

PROPOSICIONES COMPUESTAS: también denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos.

Ejemplos:

• Fui al banco, pero el banco estaba cerrado.
• Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios.
• Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalare un auto.

Conectivas lógicas

A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos que se utilizan para representarlas en lenguaje formal.

Conectiva	Expresión en el lenguaje natural	Ejemplo	Símbolo en este artículo	Símbolos alternativos
Negación	no	No está lloviendo.	${\displaystyle \neg \,}$	${\displaystyle \sim \,}$
Conjunción	y	Está lloviendo y está nublado.	${\displaystyle \land }$	${\displaystyle \And \,}$ ${\displaystyle .}$
Disyunción	o	Está lloviendo o está soleado.	${\displaystyle \lor }$
Condicional material	si... entonces	Si está soleado, entonces es de día.	${\displaystyle \to \,}$	${\displaystyle \supset }$
Bicondicional	si y sólo si	Está nublado si y sólo si hay nubes visibles.	${\displaystyle \leftrightarrow }$	${\displaystyle \equiv \,}$

Tablas de Verdad

Definimos una tabla de verdad como un arreglo que nos permite tener los posibles valores de verdad de una proposición compuesta a partir de los valores de verdad de las proposiciones simples.

Las tablas de verdad para los conectivos lógicos listados arriba son las siguientes:

Negación

La negación de una proposición es una nueva proposición que tiene un valor de verdad opuesto a la proposición original. Es decir, si el valor de verdad de una proposición p es verdadero, entonces el valor de verdad de ~p es falso.

La tabla de verdad para el conectivo ~ está dada por

p	~p
V	F
F	V

Disyunción

La disyunción es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo ${\displaystyle \vee }$.

Esta proposición compuesta de denota por ${\displaystyle p\vee q}$ y se lee p o q.

La tabla de verdad para el conectivo ${\displaystyle \vee }$ está dada por

p	q	${\displaystyle p\vee q}$
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Se puede ver que para que una proposición compuesta ${\displaystyle p\vee q}$ tenga valor de verdad verdadero, basta con una de las proposiciones simples tenga valor de verdad verdadero.

Conjunción

La conjunción es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo ${\displaystyle \wedge }$.

Esta proposición compuesta de denota por ${\displaystyle p\wedge q}$ y se lee p y q.

La tabla de verdad para el conectivo ${\displaystyle \wedge }$ está dada por

p	q	${\displaystyle p\wedge q}$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Se puede ver que para que una proposición compuesta ${\displaystyle p\wedge q}$ tenga valor de verdad verdadero, ambas proposiciones simples deben tener valor de verdad verdadero.

Condicionante

La condicional es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo ${\displaystyle \rightarrow }$.

Esta proposición compuesta de denota por ${\displaystyle p\rightarrow q}$ y se lee p implica q.

En esta proposición compuesta, la proposición simple p se llama antecedente, mientras que la proposición simple q se llama consecuente.

La tabla de verdad para el conectivo ${\displaystyle \rightarrow }$ está dada por

p	q	${\displaystyle p\rightarrow q}$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Se puede ver que una proposición compuesta ${\displaystyle p\rightarrow q}$ tiene valor de verdad falso solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En cualquier otro caso, el valor de verdad de la proposición compuesta es verdadero.

Bicondicionante

La bicondicional es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo ${\displaystyle \leftrightarrow }$.

Esta proposición compuesta se denota por ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$ y se lee p si y solo si q.

La tabla de verdad para el conectivo ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$ está dada por

p	q	${\displaystyle p\leftrightarrow q}$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Se puede ver que la proposición compuesta ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$ tiene valor de verdad verdadero siempre que las proposiciones simples tienen el mismo valor de verdad. Es cualquier otro caso, la proposición compuesta tiene valor de verdad falso.

Las proposiciones compuestas pueden combinarse o conectarse para formar proposiciones aún más complejas. Es claro que el valor de verdad de una proposición, por compleja que sea, depende de los valores de verdad de las proposiciones que las componen en sus formas más simples.

Para hacer la tabla de verdad de una proposición le asignamos una columna a cada proposición que interviene, sea ésta simple o compuesta, normalmente comenzando con las más simples y progresando en el orden de complejidad de las proposiciones componentes.

El número de filas de la tabla viene dado por la potencia ${\displaystyle 2^{n}}$, donde ${\displaystyle n}$ es el número de proposiciones en la forma más simple que forman la proposición compuesta dada.

Para asignar los valores de verdad a dichas proposiciones simples, se procede de la forma siguiente:

• la primera columna se llena asignando valores V a la mitas de las filas y valores F a la mitad siguiente.
• la segunda columna se llena asignando valores V a un cuarto de las filas, valores F al segundo cuarto, valores V al tercer cuarto y valores F al último cuarto de filas de esa columna.
• la tercera columna se llena asignando valores V a un octavo de las filas, valores F al segundo octavo, valores V al tercer octavo, etc.