T. C. Andy Cobón.

TEORÍA DE CONJUNTOS.

Es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de aquella. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades sin demostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influido por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada porGottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.

Álgebra de conjunto.

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

• Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece aA y su segundo elemento b pertenece a B.

OPERACIONES CON CONJUNTOS.

Unión de conjuntos

Supongamos que tenemos los conjuntos $M$ y $N$ definidos como se muestra en la siguiente figura:

Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos que pertenezcan a $M$ o a $N$.  A este nuevo conjunto le llamamos unión de $M$ y $N$, y lo notamos de la siguiente manera:$M\cup N$.  En la imagen de abajo puedes observar el resultado de unir los conjuntos $M$ y $N$.

Al elegir qué elementos estarán en la unión de nuestros conjuntos $M$ y $N$, debes preguntarte cuáles están en el conjunto $M$“o” en el conjunto $N$.  El resultado de la operación será el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal $U$, que cumplan la condición de estar en uno o en otro.   Tenemos en este caso: $M\cup N=\{a,c,b,g,e,1\}$

Intersección de conjuntos.

Sigamos tomando como ejemplo los conjuntos $M$ y $N$

$M$y $N$ tienen en común.  A este nuevo conjunto le llamamos intersección de $M$ y $N$ y lo notamos de la siguiente manera: $M\cap N$.

Para determinar que elementos pertenecen a la intersección de los conjuntos $M$ y $N$ te puedes preguntar qué elementos están en $M$ “y” en  $N$.  Todos los elementos del conjunto $U$ que cumplan esta condición deberán estar en el conjunto $M\cap N$.  En la figura de la arriba podemos ver la intersección de nuestros conjuntos $M$ y $N$, tenemos que $M\cap N=\left\{b\right\}$.

Diferencia de conjuntos.

Además de la unión y la intersección podemos realizar la diferencia de conjuntos.  En este caso se deben seleccionar los elementos de un conjunto que no estén en el otro.  Por ejemplo, si realizas la operación $M$ menos $N$, debes seleccionar los elementos de $M$ que no están en $N$.  Representamos la diferencia M menos N así: $M\backslash N$.  Observa que en este caso $M\backslash N=\{a,c\}$.

Diferencia simétrica de conjuntos

Que el nombre esta operación no te alarme, también es muy sencilla.  En esta ocasión se deben escoger los elementos de $M$ que no están en $N$, y los elementos de $N$ que no están en $M$.  Puedes ver el resultado de ladiferencia simétrica entre $M$ y $N$ en la figura de la izquierda.  Representamos la diferencia simétrica a través del símbolo $\Delta$.  En el caso de nuestros conjuntos $M$ y $N$tenemos: $M\Delta N=\{a,c,g,1,e\}$.

Complemento de un conjunto

La ultima operación que estudiaremos no es entre dos conjuntos.  Decimos que el complemento de $M$ es el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal $U$, que no pertenecen al conjunto $M$.  Es común usar los símbolos $M^c$, $\overline{M}$ o $M\text{'}$ para representar el complemento del conjunto $M$, nosotros usaremos el símbolo $M^c$.  En nuestro caso tenemos $M^c=\{j,f,g,1,e,i,h\}$ y $N^c=\{i,h,j,f,a,c\}$.