TEORÍA DE CONJUNTOS
La palabra conjunto
generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un
conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en
palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesina do, familia, etc., es
decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas,
figuras, ideas y conceptos.
En matemáticas el
concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de
este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de
objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de
elemento y pertenencia.
La característica
esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un
objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo
si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece
al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras
musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas
puedan incluir distintas obras en el conjunto.
Los objetos que
forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por
ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se
puede escribir así:
{ a, b, c, ..., x, y,
z}
Como se muestra el
conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas (,).
El detallar a todos
los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma
tabular, extensión o enumeración de los elementos.
Dos conjuntos son
iguales si tienen los mismos
elementos, por ejemplo:
El conjunto { a, b, c
} también puede escribirse:
{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b
}, { c, b, a }
En teoría de
conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por
ejemplo:
El conjunto { b, b,
b, d, d } simplemente será { b, d }.
MEMBRESIA
Los conjuntos se
denotan por letras mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo:
A={ a, c, b }
B={ primavera,
verano, otoño, invierno }
El símbolo Î indicará
que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para
indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará
cancelarlo con una raya inclinada /quedando el símbolo como Ï .
Ejemplo:
Sea B={ a, e, i, o, u
}, a Î B y c Ï B
SUBCONJUNTO
Sean los conjuntos
A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }
En este caso decimos
que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si
A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si
todo elemento de B lo es de A también.
Por lo tanto si B es
un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto
de A se indicará con una diagonal Ë .
Note que Î se
utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para
conjuntos.
UNIVERSO O CONJUNTO
UNIVERSAL
El conjunto que
contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de
conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se
denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).
Por ejemplo si solo
queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:
U={ 1, 2, 3, 4, 5 }
Forma alternativa
para indicar conjuntos de gran importancia:
- Conjunto
de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la
letra N donde
N={ 1, 2, 3, .... }
- Conjunto
de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde
Z={..., -2, -1, 0, 1,
2, ... }
- Conjunto
de números racionales (números que se representan como el cociente de dos
números enteros {fracciones }). Estos números se representan por una Q
- Conjunto
de números irracionales (números que no puedan representarse como el
cociente de dos números enteros) representados por la letra I.
- Conjunto
de los números reales que son los números racionales e irracionales es
decir todos, representados por R.
Todos estos conjuntos
tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión
o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace
referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la
notación llamada comprehensión.
Por ejemplo, la
denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es
el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los
elementos del conjunto: ser menores que 60.
Para indicar esta
situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:
{ x/x Î N ;
x<60 }
En esta expresión se
maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales
(N) y además que los valores de x son menores que
60.
Ahora si se desea
trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser representados
por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los
números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera
siguiente:
{ x/x Î Z ;
-20 £ x £ 30 }
También se puede
expresar el valor de un conjunto indicando la pertenencia o no pertenencia a
uno diferente, por ejemplo
L={ 1, 3, 4, 6, 9 }
P={ x/x Î N
; X Ï L }
En el conjunto P se
indica que los elementos x de un conjunto pertenecen a los
números naturales y además x no pertenece al conjunto L.
OPERACIONES CON
CONJUNTOS
UNION
La unión de dos
conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto
formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos.
Lo que se denota por:
A È B = {
x/x Î A ó x Î B }
Ejemplo: Sean los
conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }
A È B ={ 1,
3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
INTERSECCION
Sean A={ 1, 2, 3, 4,
5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }
Los elementos comunes
a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección
de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe
así:
A Ç B
= { x/x Î A y x Î B }
Y se lee el conjunto
de elementos x que están en A y están en B.
Ejemplo:
Sean Q={ a, n, p, y,
q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }
Q Ç P={ a,
b, o, r, s, y }
CONJUNTO VACIO
Un conjunto que no
tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por
el símbolo Æ .
Por ejemplo:
Sean A={ 2, 4, 6 } y
B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B.
A Ç B= { }
El resultado de
A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es
el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:
A Ç B=Æ
CONJUNTOS AJENOS
Sí la intersección de
dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les
llamaremos conjuntos ajenos, es decir:
Si A Ç B
= Æ entonces A y B son ajenos.
COMPLEMENTO
El complemento de un
conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no
pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por
comprehensión como:
A'={ x Î U/x
y x Ï A }
Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 }
donde A Ì U
El complemento de A
estará dado por:
A'= { 2, 4, 6, 8 }
DIFERENCIA
Sean A y B dos
conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de
los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:
A - B={ x/x Î A
; X Ï B }
Ejemplo:
Sea A= { a, b, c, d }
y
B= { a, b, c, g, h, i
}
A - B= { d }
En el ejemplo
anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no
estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es
B – A = { g, h, i }
E indica los
elementos que están en B y no en A.
DIAGRAMAS DE VENN
Los diagramas de Venn
que de deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar
relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.
La manera de
representar el conjunto Universal es un rectángulo, ó bien la hoja de papel con
que se trabaje.
Un ejemplo de la
representación del conjunto universal se muestra como:
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