sábado, 23 de julio de 2016

TC Brandon Solís

Teoría de Conjuntos

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a Î A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aÏ A.

Ejemplos de conjuntos:

Æ : el conjunto vacío, que carece de elementos.
N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q : el conjunto de los números racionales.
R: el conjunto de los números reales.
C: el conjunto de los números complejos.

Se puede definir un conjunto:

por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión,
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:

A := {1,2,3, ... ,n}
B := {pÎ Z | p es par}

Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B),
y se denota A Í B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a Î A Þ a Î B.Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A Í B y B Í A;
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que ÆÍ A y A Í A;
B Í A es un subconjunto propio de A si A ¹ Æ y B ¹ A.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota Ã (A).
Entonces, la relación B Í A es equivalente a decir B Î Ã (A). Ejemplos:

Si A = {a,b} entonces Ã (A) = {Æ ,{a},{b},A}.Si a Î A entonces {a} ÎÃ (A).
Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U,
se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A - B := {a Î A | a Ï B}.
Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A D B := (A - B) È (B - A).Si A Î Ã (U), a la diferencia U - A se le llama complementario de A respecto de U,
y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).
Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:

Æ ' = U .
U ' = Æ .
(A')' = A .
A Í B Û B' Í A' .
Si A = { x Î U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x Î U | p(x) es una proposición falsa}.

Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B,
es decir: A È B := { x | x Î A Ú x Î B}.Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B,
es decir: A Ç B := {x | x Î A Ù x Î B}.
Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A - B = A Ç B'.
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades :

PROPIEDADES	UNION	INTERSECCION
1.- Idempotencia	A È A = A	A Ç A = A
2.- Conmutativa	A È B = B È A	A Ç B = B Ç A
3.- Asociativa	A È ( B È C ) = ( A È B ) È C	A Ç ( B Ç C ) = ( A Ç B ) Ç C
4.- Absorción	A È ( A Ç B ) = A	A Ç ( A È B ) = A
5.- Distributiva	A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C )	A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C )
6.- Complementariedad	A È A' = U	A Ç A' = Æ

Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole.

Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:

A È Æ = A , A Ç Æ = Æ ( elemento nulo ).
A È U = U , A Ç U = A ( elemento universal ).
( A È B )' = A' Ç B' , ( A Ç B )' = A' È B' ( leyes de Morgan ).

Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados:
A ´ B := { (a,b) : a Î A Ù b Î B}
Dos pares (a,b) y (c,d) de A ´ B son iguales si a = c y b = d; análogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D se verifica

A ´ B = C ´ D Û ( A = C Ù B = D )
Se llama grafo relativo a A ´ B a todo subconjunto G Í A ´ B.
Dado un grafo G relativo a A ´ B, se llama proyección de G sobre A al conjunto

Proy_AG := { a Î A : (a,b) Î G, $ b Î B}
Análogamente se define la proyección Proy_BG de G sobre B.
Por último, los conceptos anteriores pueden generalizarse a familias de conjuntos.
Si para cada elemento i de un conjunto (de índices ) I se tiene un conjunto A_i, entonces se define el conjunto { A_i : i Î I }
y se denomina familia de conjuntos indicada por I. También se suele denotar por { A_i } _i Î I.
De forma análoga se define una familia de elementos ( a_i ) _i Î I .
Dada una familia de conjuntos { A_i } _i Î I se definen:

È _i ÎI A_i := { a : a Î A_i , $ i Î I }
Ç _i Î I A_i := { a : a Î A_i , " i Î I }
Õ _i Î I A_i := { (a_i) : a_i Î A_i , " i Î I }

Las propiedades de la unión e intersección siguen siendo válidas para familias de conjuntos, y en particular las leyes de Morgan :
( È _i Î I A_i )' = Ç _i Î I A'_i , (Ç_i Î I A_i )' = È_i Î I A'_iDIAGRAMAS DE VENNLos conjuntos de suelen representar gráficamente mediante "diagramas de Venn", con una línea que encierra a sus elementos.
Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva.
A Í B

A È B

A Ç B

A - B

A D B

RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA PROPOSICIONAL

Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Proposicional.
Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A,B ... los conjuntos y
por las correspondientes minúsculas a,b ... sus propiedades características
(es decir, la proposición lógica que caracteriza a los elementos de cada conjunto);
entonces se tiene la siguiente correspondencia:

conjuntos	A Í B	A = B	A È B	A Ç B	A'	A - B	A D B
proposiciones	a Þ b	a Û b	a Ú b	a Ù b	a'	a Ù b'	a Ú b

Además, el conjunto vacío se corresponde con una contradicción y el conjunto universal con una tautología.
Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos se pueden reescribir en términos de lógica
proposicional y viceversa; a modo de ejemplo:

A È ( A Ç B ) = A	a Ú ( b Ù c ) Û a
A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C )	a Ú ( b Ù c ) Û ( a Ú b ) Ù ( a Ú c )
( A È B )' = A' Ç B'	( a Ú b )' Û a' Ù b'

PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES
Los símbolos " (cuantificador universal) y $ (cuantificador existencial) se utilizan en Matemáticas para
enunciar proposiciones logicas relativas a objetos matemáticos.
Sea A un conjunto y p(x) una proposición o propiedad que hace referencia a un elemento x.
(1) Cuantificador universal : La expresión
        " x Î A Þ p(x)
se lee "para todo x que pertenece a A se verifica p(x)", representa la proposición
        { x Î A : p(x) } = A
(2) Cuantificador existencial : La expresión
        $ x Î A | p(x)
se lee "existe x que pertenece a A tal que p(x)", representa la proposición
        { x Î A : p(x) } ¹ Æ

La negación de cualquiera de las dos proposiciones anteriores se realiza negando la proposición p(x)
y cambiando el cuantificador universal por el cuantificador existencial, o viceversa.
Así, la negación de la proposición "" x Î A Þ p(x)" es "$ x Î A | p(x)' ", mientras que
la negación de "$ x Î A | p(x)" es "" x Î A Þ p(x)' "

TC Dinora Lopez

TEORÍA DE CONJUNTOS

La idea de agrupar objetos de la misma naturaleza para clasificarlos en “colecciones” o “conjuntos” es parte de la vida diaria de los seres humanos. Por ejemplo, el conjunto de libros de una biblioteca, el conjunto de árboles en un terreno, el conjunto de zapatos en un negocio de venta al público, el conjunto de utensilios en una cocina, etcétera. En todos estos ejemplos, se utiliza la palabra conjunto como una colección de objetos.

El concepto de Conjunto, entonces, está referido a reunir o agrupar personas, animales, plantas o cosas, para estudiar o analizar las relaciones que se pueden dar con dichos grupos.

Diagrama de Venn y entre llaves.

Es habitual representar los conjuntos en forma gráfica mediante los Diagramas de Venn.

En estos diagramas el conjunto se representa mediante una superficie limitada por una línea. En su interior se colocan los elementos del conjunto. Cada porción del plano limitada se nombra con una letra mayúscula.

El conjunto A está formado por los elementos 1, 2, 3.

El conjunto B está formado por los elementos a, b, c, d.

Existe, además, otra forma de representarlos que es entre llaves.

En estos ejemplos se escribe:

A = {1, 2, 3}

B = {a, b, c, d}

Por diagrama	Entre llaves
	S = {a, e, i, o, u} Se escribe una coma para separar los elementos.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Intersección de conjuntos (

)

La intersección entre dos o más conjuntos es otro conjunto formado por los elementos comunes a ellos; es decir, a los elementos comunes o repetidos de ambos conjuntos A y B.

La intersección se simboliza con el signo

y se coloca entre las letras que representan a cada conjunto.

Conjunto A = {3, 8, 24}

Conjunto B = {13, 7, 8, 12}

Los elementos que se repiten entre A y B son: 3 y 8. Estos elementos se anotan en la parte de color amarillo pues representa el lugar común entre ambos conjuntos.

Otro ejemplo:

B = { a, b, c, d, e, f }

C = { a, d, f, g, h }

C = { a, d, f }

En el diagrama de Venn la parte ennegrecida representa la intersección de B y C.

Unión de conjuntos: La unión de dos o más conjuntos es otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a uno u otro conjunto o a ambos.

La unión se representa por el símbolo

Si un elemento está repetido, se coloca una sola vez.

Cuando no hay elementos comunes o repetidos (esquema 1) se anotan todos los elementos en un solo conjunto (una sola figura cerrada):

B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Si hay elementos repetidos, éstos se anotan en la zona común a ambos conjuntos (esquema 2), donde se juntan ambas figuras cerradas:

Z = {9, 6, 8, 5, 7}.

TIPOS DE CONJUNTOS

Conjunto Disjunto, Conjunto Subconjunto

1) Conjuntos disjuntos: Son aquellos conjuntos que no tienen elementos en común.

Por ejemplo:

El conjunto A tiene como elementos a los números 1, 2 y 3. El conjunto B tiene como elementos a las letras a, b, c y d. No hay elementos comunes entre los conjuntos A y B. En otras palabras, ningún elemento del conjunto A pertenece al conjunto B; a su vez, ningún elemento de B pertenece al conjunto A.

En consecuencia, los conjuntos A y B son disjuntos.

Tomando otro ejemplo:

Si E = { pizarrón, tiza, borrador} (Conjunto E formado por pizarrón, tiza, borrador)

F = { tiza, profesor, regla} (Conjunto F formado por tiza, profesor, regla)

G = { niño, cuaderno, sala, lápiz } (Conjunto G formado por niño, cuaderno, sala, lápiz)

E y G son conjuntos disjuntos porque: pizarrón, tiza, borrador no pertenecen al conjunto G.

E y F no son disjuntos ya que tiza pertenece a E y también a F.

F y G son conjuntos disjuntos porque: tiza, profesor, regla no pertenecen a G, y niño, cuaderno, sala, lápiz no pertenecen a F.

2) Conjunto Subconjunto: Un conjunto es subconjunto de otro si todos los elementos de un conjunto también pertenecen al otro.

Si se tienen los siguientes conjuntos:

P = { a, e, i, o, u } y R = { a, i }

R es subconjunto de P porque todos los elementos de R están en P.

En general, para expresar que un conjunto es subconjunto de otro conjunto se pone entre ellos el símbolo

. En este ejemplo se escribe:

R P

Se lee “ R es subconjunto de P”

no es subconjunto de otro cuando al menos un elemento del primero no pertenece al segundo conjunto. El símbolo que representa la frase “no es subconjunto de“ es

Si se tienen los siguientes conjuntos:

C = { 3, 5, 7, 9 } y H = { 3, 5, 8 }

H no es subconjunto de C porque el elemento 8 no pertenece al conjunto C. Se escribe:

H C

Se lee “ H no es subconjunto de C”

También los subconjuntos pueden representarse mediante Diagramas de Venn.

Ejemplo:

Propiedades de la relación subconjunto

1.- Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.

Si T = { x, z, y, z }, se tiene que T

2.- El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto (el conjunto vacío es aquel que no tiene elementos; se representa por: { } o bien por Ø

Si se tiene el conjunto B se puede establecer que Ø

CONJUNTO UNIVERSO

En el Diagrama de Venn de la izquierda se puede observar que el conjunto U contiene a los conjuntos M y N. U es el conjunto universo porque es un conjunto que contiene a todos los conjuntos.

Otro ejemplo:

Sea Y = { enero, febrero } ; Ñ = { marzo, junio, agosto }

El conjunto universo será: U = { meses del año }

viernes, 22 de julio de 2016

TJ Carlos José Domingo Montejo

TEORÍA DE CONJUNTOS

Es una lista o arreglo de objetos en una determinada agrupación, como por ejemplo: una agrupaciones de personas, animales de distintos géneros o cosas según sea su clasificación..

Pueden ser denominadas de diferentes nombres, a igual con la simbolista que se le pida o se le apetezca realizar.

Definición de conjunto:

Extensión: Es la definición más ampliación, explicando tal como es los elementos que contenga los conjuntos. Ejemplo: A = (1, 3, 5, 7, 9)

Comprensión: Explica de la forma en como es el conjunto, con palabras explicitas, ejemplo: A= (Números Naturales Impares menores a 10)

Existen diferentes operaciones de conjuntos como los cuales son los siguientes:

Unión: La unión de conjuntos es de asociar dos o más agrupaciones A y B es igual a A U B. ejemplo

Intersección: La intersección, es la interacción entre dos conjuntos que contienen algo en común

Vacío: Es un conjunto que no contienen ningún elemento, es decir, como su nombre lo dice, está completamente vacío no contiene nada

Complemento: Es un conjunto que se encuentra en el universo, están a fuera de los dos o más conjuntos que están interactuando entre sí, es decir, es la agregación de ellos

Diferencia

Es donde dos o más conjuntos no tienen nada en común, se representan de la siguiente forma A / B

Los conjuntos son una fuente o herramienta utilizada frecuentemente, pues se puede manejar o enfocar en problemas cotidianos, para la resolución de problemas

T.C josé Villatoro

Teoría de Conjuntos

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a Î A.

En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aÏ A.

Ejemplos de conjuntos:

Æ : el conjunto vacío, que carece de elementos.
N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q : el conjunto de los números racionales.
R: el conjunto de los números reales.
C: el conjunto de los números complejos.

Se puede definir un conjunto:

por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión,

o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:

A := {1,2,3, ... ,n}
B := {pÎ Z | p es par}

Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B),

y se denota A Í B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a Î A Þ a Î B.

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A Í B y B Í A;

esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).

Para cualquier conjunto A se verifica que ÆÍ A y A Í A;

B Í A es un subconjunto propio de A si A ¹ Æ y B ¹ A.

El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota Ã (A).

Entonces, la relación B Í A es equivalente a decir B Î Ã (A). Ejemplos:

Si A = {a,b} entonces Ã (A) = {Æ ,{a},{b},A}.

Si a Î A entonces {a} ÎÃ (A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U,

se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A - B := {a Î A | a Ï B}.

Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A D B := (A - B) È (B - A).

Si A Î Ã (U), a la diferencia U - A se le llama complementario de A respecto de U,

y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).

Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:

Æ ' = U .
U ' = Æ .
(A')' = A .
A Í B Û B' Í A' .
Si A = { x Î U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x Î U | p(x) es una proposición falsa}.

Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B,

es decir: A È B := { x | x Î A Ú x Î B}.

Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B,

es decir: A Ç B := {x | x Î A Ù x Î B}.

Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A - B = A Ç B'.

En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades :

PROPIEDADES	UNION	INTERSECCION
1.- Idempotencia	A È A = A	A Ç A = A
2.- Conmutativa	A È B = B È A	A Ç B = B Ç A
3.- Asociativa	A È ( B È C ) = ( A È B ) È C	A Ç ( B Ç C ) = ( A Ç B ) Ç C
4.- Absorción	A È ( A Ç B ) = A	A Ç ( A È B ) = A
5.- Distributiva	A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C )	A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C )
6.- Complementariedad	A È A' = U	A Ç A' = Æ

Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole.

Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:

A È Æ = A , A Ç Æ = Æ ( elemento nulo ).
A È U = U , A Ç U = A ( elemento universal ).
( A È B )' = A' Ç B' , ( A Ç B )' = A' È B' ( leyes de Morgan ).

Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados:

A ´ B := { (a,b) : a Î A Ù b Î B}

Dos pares (a,b) y (c,d) de A ´ B son iguales si a = c y b = d; análogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D se verifica

A ´ B = C ´ D Û ( A = C Ù B = D )

Se llama grafo relativo a A ´ B a todo subconjunto G Í A ´ B.

Dado un grafo G relativo a A ´ B, se llama proyección de G sobre A al conjunto

Proy_AG := { a Î A : (a,b) Î G, $ b Î B}

Análogamente se define la proyección Proy_BG de G sobre B.

Por último, los conceptos anteriores pueden generalizarse a familias de conjuntos.

Si para cada elemento i de un conjunto (de índices ) I se tiene un conjunto A_i, entonces se define el conjunto { A_i : i Î I }

y se denomina familia de conjuntos indicada por I. También se suele denotar por { A_i } _i Î I.

De forma análoga se define una familia de elementos ( a_i ) _i Î I .

Dada una familia de conjuntos { A_i } _i Î I se definen:

È _i ÎI A_i := { a : a Î A_i , $ i Î I }
Ç _i Î I A_i := { a : a Î A_i , " i Î I }
Õ _i Î I A_i := { (a_i) : a_i Î A_i , " i Î I }

Las propiedades de la unión e intersección siguen siendo válidas para familias de conjuntos, y en particular las leyes de Morgan :

( È _i Î I A_i )' = Ç _i Î I A'_i , (Ç_i Î I A_i )' = È_i Î I A'_i
DIAGRAMAS DE VENN

Los conjuntos de suelen representar gráficamente mediante "diagramas de Venn", con una línea que encierra a sus elementos.

Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva.

A Í B

A È B

A Ç B

A - B

A D B

RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA PROPOSICIONAL

conjuntos	A Í B	A = B	A È B	A Ç B	A'	A - B	A D B
proposiciones	a Þ b	a Û b	a Ú b	a Ù b	a'	a Ù b'	a Ú b

A È ( A Ç B ) = A	a Ú ( b Ù c ) Û a
A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C )	a Ú ( b Ù c ) Û ( a Ú b ) Ù ( a Ú c )
( A È B )' = A' Ç B'	( a Ú b )' Û a' Ù b'

TC Jennifer Castro

Teoría de Conjuntos

La teoría de conjuntos se entiende como un contenido del área de matemáticas pero sus utilidades van mucho más allá del desarrollo del pensamiento lógico matemático. Comprender la teoría de conjuntos nos permite utilizar los conjuntos como herramienta para analizar, clasificar y ordenar los conocimientos adquiridos desarrollando la compleja red conceptual en que almacenamos nuestro aprendizaje.

Así existen cuatro formas de las cuales podemos definir los conjuntos:

Extensión o enumeración: sus elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Cada conjunto describe un listado de todos sus elementos.
Comprensión: sus elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves.
Diagramas de Venn: regiones cerradas que nos permiten visualizar las relaciones entre los conjuntos.
Descripción verbal: se trata de un enunciado que describe una característica común a todos los elementos del conjunto.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Unión de Conjuntos

Sean $A$ $A$ y $B$ $B$ dos conjuntos. Se define la unión de $A$ $A$ con $B$ $B$ , denotada por $A\cup B$ $A\cup B$ (que se lee A unión B), por el conjunto

$A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}$

En un Diagrama de Venn, la unión de dos conjuntos $A$ $A$ y $B$ $B$ , dependiendo de cómo se relacionan entre ellos, se ve como sigue:

En términos prácticos, la unión de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos de cualquiera de los dos conjuntos.

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos $A=\{1,2,3,4,5\}$ $A=\{1,2,3,4,5\}$ y $B=\{3,4,5,6,7,8\}$ $B=\{3,4,5,6,7,8\}$ , la unión de ellos es el conjunto

$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$

Propiedad de la unión de conjunto

La unión de conjunto cumple la siguiente propiedad.

$A\cup A=A$ $A\cup A=A$
$A\cup B=B\cup A$ $A\cup B=B\cup A$
$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$
$A\cup \phi =A$ $A\cup \phi =A$
Si $A\subseteq B\Rightarrow A\cup B=B$ $A\subseteq B\Rightarrow A\cup B=B$

Intersección de Conjuntos

Sean $A$ $A$ y $B$ $B$ dos conjuntos. Se define la intersección de $A$ $A$ y $B$ $B$ , denotada por $A\cap B$ $A\cap B$ (que se lee A intersección B), por el conjunto

$A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}$

En un Diagrama de Venn, la intersección de dos conjuntos $A$ $A$ y $B$ $B$ , dependiendo de cómo se relacionan entre ellos, se ve como sigue:

Intersección de Conjuntos

En términos prácticos, la intersección de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos comunes a ambos conjuntos.

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ y $B=\{4,5,6,7\}$ $B=\{4,5,6,7\}$ , el conjunto intersección es

$A\cap B=\{4,5,6,7\}$

Nota: Dos pares de conjuntos $A$ $A$ y $B$ $B$ se llaman disjuntos siempre que $A\cap B=\phi$ $A\cap B=\phi$ .

Propiedades de la intersección de conjuntos

La intersección de conjuntos cumple con las siguientes propiedades

$A\cap A=A$ $A\cap A=A$
$A\cap B=B\cap A$ $A\cap B=B\cap A$
$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$ $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$
$A\cap \phi =\phi$ $A\cap \phi =\phi$
Si $A\subseteq B\Rightarrow A\cap B=A$ $A\subseteq B\Rightarrow A\cap B=A$

Diferencia de Conjuntos

Sean $A$ $A$ y $B$ $B$ dos conjuntos. Se define la diferencia de $A$ $A$ con $B$ $B$ , denotada por $A-B$ $A-B$ (que se lee A menos B), por el conjunto

$A-B=\{x:x\in A\wedge x\notin B\}$

En un Diagrama de Venn, la diferencia de $A$ $A$ con $B$ $B$ , dependiendo de cómo se relacionan los conjuntos, se ve como sigue:

Diferencia entre Conjuntos

En términos prácticos, la diferencia de un conjunto $A$ $A$ con un conjunto $B$ $B$ , en ese orden, es el conjunto formado por todos los elementos que están en $A$ $A$ pero no en $B$ $B$

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ y $B=\{3,5\}$ $B=\{3,5\}$ , entonces el conjunto diferencia de $A$ $A$ con $B$ $B$ es

$A-B=\{1,2,4,6\}$

Complemento de un Conjunto

Sea $A$ $A$ un conjunto dentro de un conjunto universo $U$ $U$ . Se define el complemento de $A$ $A$ , denotado por $A^{c}$ $A^{c}$ (que se lee A complemento), al conjunto

$A^{c}=\{x:x\notin A\}$

En un Diagrama de Venn, el complemento de un conjunto se ve como sigue:

Complemento de un Conjunto

En términos prácticos, el complemento de un conjunto es todo lo que no está en el conjunto.

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos $U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ $U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ y $A=\{1,3,5,7,9\}$ $A=\{1,3,5,7,9\}$ , entonces el complemento de $A$ $A$ es el conjunto

$A^{c}=\{0,2,4,6,8\}$

Propiedades del complemento de un conjunto

El complemento de un conjunto cumple las siguientes propiedades

$(A^{c})^{c}=A$ $(A^{c})^{c}=A$
$U^{c}=\phi$ $U^{c}=\phi$
$\phi ^{c}=U$ $\phi ^{c}=U$
$A\subseteq B\Rightarrow B^{c}\subseteq A^{c}$ $A\subseteq B\Rightarrow B^{c}\subseteq A^{c}$

Propiedades Combinadas

Se cumplen las siguientes propiedades entre conjuntos

$A-B=A\cap B^{c}$ $A-B=A\cap B^{c}$
$A\cap A^{c}=\phi$ $A\cap A^{c}=\phi$
$A\cup A^{c}=U$ $A\cup A^{c}=U$

Leyes de distribución

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$