jueves, 7 de julio de 2016

LP_Patrick Emmanuel Martinez Mendoza

Lógica Proposicional

Estudia las variables proposicionales o sentencias lógicas, sus posibles implicaciones, evaluaciones de verdad y en algunos casos su nivel absoluto de verdad.

Tiene como característica ser una afirmación. Mediante oraciones que pueden ser afirmativas, interrogativas y exclamativas.

Existen dos tipo de proposiciones
  • Simples (Atómicas) una oración.
  • Compuestas( Moleculares) dos o más oraciones.
Teniendo en cuenta que cada oración puede estar entrelazada mediante un conectivo lógico. Siendo estos los siguientes.
  • Conjunción: "Y" = \land
  • Disyunción: "O" = {\displaystyle \lor }
  • Implicación: "Si entonces" = {\displaystyle \to \,}
  • Doble implicación: "Si y solo si" = \leftrightarrow
  • Negación o alegación: "No" = {\displaystyle \neg \,}
El significado de las conectivas lógicas no es nada más que su comportamiento como funciones de verdad. Cada conectiva lógica se distingue de las otras por los valores de verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede recibir. Esto quiere decir que el significado de cada conectiva lógica puede ilustrarse mediante una tabla que despliega los valores de verdad que la función devuelve frente a todas las combinaciones posibles de valores de verdad que puede recibir.
  • CONJUNCIÓN (\land )
  • {\displaystyle {\begin{array}{c|c||c}\phi &\psi &\phi \land \psi \\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&F\\\end{array}}}
  • DISYUNCIÓN ({\displaystyle \lor })
  • {\displaystyle {\begin{array}{c|c||c}\phi &\psi &\phi \lor \psi \\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&V\\F&F&F\\\end{array}}}
  • IMPLICACIÓN ({\displaystyle \to \,})
  • {\displaystyle {\begin{array}{c|c||c}\phi &\psi &\phi \to \psi \\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&V\\F&F&V\\\end{array}}}
  • DOBLE IMPLICACIÓN (\leftrightarrow)
  • {\displaystyle {\begin{array}{c|c||c}\phi &\psi &\phi \leftrightarrow \psi \\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&V\\\end{array}}}
  • NEGACIÓN ({\displaystyle \neg \,})
  • {\displaystyle {\begin{array}{c||c}\phi &\neg \phi \\\hline V&F\\F&V\\\end{array}}}
En lógica proposicional las leyes de De Morgan son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia validas. Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de sí vía negación.
Las reglas se pueden expresar en español como:
La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.
La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.
o informalmente como:
"no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)"

y también,


"no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)"
Las reglas pueden ser expresadas en un lenguaje formal con dos proposiciones P y Q, de esta forma:
donde:
  • ¬ es el operador de negación (NO)
  •  es el operador de conjunción (Y)
  •  es el operador de disyunción (O)
  • ⇔ es un símbolo metalógico que significa "puede ser reemplazado en una prueba lógica".
Entre la aplicaciones de las normas se incluyen la simplificación de expresiones lógicas en programas de computación y diseño de circuitos digitales. Las leyes de De Morgan son un ejemplo de concepto más general de dualidad matemática.
Siendo de esta manera las leyes De Morgan para poder aplicar a cada uno de nuestro conectivos lógicos.
  • Conjunción: {\displaystyle \neg \,}(P\land Q) = {\displaystyle \neg \,}P{\displaystyle \lor }{\displaystyle \neg \,}Q
  • Disyunción:  {\displaystyle \neg \,}(P{\displaystyle \lor }Q) = {\displaystyle \neg \,}P\land {\displaystyle \neg \,}Q
  • Implicacion:  {\displaystyle \neg \,}(P{\displaystyle \to \,}Q) = P\land {\displaystyle \neg \,}Q
  • Doble implicación: {\displaystyle \neg \,}(P\leftrightarrowQ) = (P\land {\displaystyle \neg \,}Q){\displaystyle \lor }( Q\land {\displaystyle \neg \,}P)



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