ANÁLISIS
DIMENSIONAL
Es una rama de las matemáticas aplicada a la Física que se encarga de estudiar las distintas formas en que se relacionan las magnitudes fundamentales con las magnitudes derivadas y éstas con sus unidades, lo que ha provocado el desarrollo de leyes,reglas y propiedades.
Un análisis correcto de las unidades o dimensiones de las magnitudes físicas permiten:
- Relacionar una magnitud física derivada con otras elegidas como fundamentales.
- Establecer el grado de verdad de una fórmula.
- Elaborar fórmulas empíricas para fenómenos de simple desarrollo.
Las ecuaciones deducidas a partir de las Leyes Físicas son siempre homogéneas desde un punto de vista dimensional, es decir, todos sus términos tienen las mismas dimensiones y las constantes numéricas que en ellas pueden figurar son adimensionales.
Una ecuación así es válida en cualquier sistema de unidades. Además, si en una ecuación de este tipo se dividen todos los términos por uno de ellos, se transformarán en razones adimensionales.
Una combinación de variables tal que sus dimensiones se anulan recibe el nombre de " número, grupo o razón adimensional" y su valor es siempre el mismo, sin importar el sistema de unidades que se utilice.
Por el contrario, como resultado de la experimentación puede llegarse a ecuaciones empíricas sin prestar atención a su coherencia dimensional, es decir, a ecuaciones cuyos dos miembros sean aparentemente de distintas dimensiones. Estas ecuaciones sólo serán válidas cuando se empleen las unidades con las que se ha deducido.
Ejemplo:
En la transmisión de calor desde un tubo horizontal, el coeficiente de película h, vale:
.
En este caso, la constante 0,50 tiene dimensiones, puesto que las del primer miembro son distintas a las del segundo, y por tanto, la ecuación no será válida en otro sistema de unidades.
En el S.I. la ecuación se transforma en la siguiente: h = 1,312 (T/D)0,25
En el estudio de las Operaciones Básicas, aparecen con frecuencia fenómenos en los que intervienen un gran número de variables, y en los que es difícil llegar a una ecuación que los represente, bien por dificultad en la integración de la ecuación diferencial que las liga, o bien porque se requeriría una experimentación desmesurada. (v.g: Tubería, calor).
El análisis dimensional es simplemente un instrumento matemático que, una vez conocidas todas las variables que intervienen en un determinado fenómeno, permite agruparlas en un reducido número de grupos adimensionales, mediante los cuales se simplifica y hace asequible la experimentación conducente a establecer la relación funcional entre las indicadas variables.
Los principios fundamentales del análisis dimensional son tres:
1.- Todas las magnitudes físicas pueden expresarse como funciones potenciales de un reducido número de magnitudes fundamentales.
2.- Las ecuaciones que relacionan las magnitudes físicas son homogéneas desde un punto de vista dimensional.
3.- Toda ecuación dimensionalmente homogénea puede reducirse a una relación entre una serie completa de razones o números adimensionales.
Hay varios métodos para el análisis dimensional. Como más intuitivo veremos sólo el de Rayleigh. Para el mismo, se siguen ordenadamente los pasos :
1.- Se establecen las variables que intervienen en el fenómeno de que se trate.
2.- Se expresa una de ellas, la de mayor interés, como función potencial de las restantes y de las posibles constantes adimensionales.
3.- Se sustituyen todas las variables por sus dimensiones y se establecen las ecuaciones de homogeneidad para cada una de las magnitudes fundamentales.
4.- Si el sistema de magnitudes elegido tiene p magnitudes fundamentales, nos quedará un sistema de p ecuaciones con n (nº de variables independientes) incógnitas. Se eligenn-p incógnitas y se resuelve el sistema para hallar el valor de los p exponentes restantes en función de los elegidos.
5.- Se sustituyen los valores de los p exponentes en la función y se agrupan las magnitudes elevadas a los mismos exponentes, resultando una razón adimensional elevada a un exponente unidad, y n-p razones adimensionales elevadas cada una a los exponentes elegidos.
Hay que destacar que la forma de la ecuación final depende de los exponentes elegidos, pero, sin embargo, los nuevos grupos adimensionales que se obtendrían serían combinación lineal de los grupos primeros existentes.
Hace falta experiencia para el análisis dimensional. En los problemas de transmisión de calor se toma, a veces, la temperatura y el calor como magnitudes fundamentales, con lo que éstos se simplifican. Si no se está seguro, y se incluye una variable indebida, ésta no ejerce influencia significativa en el problema y su exponente será nulo. Si se omite, en cambio, una variable importante, se encontrará que no hay una relación única entre los grupos adimensionales.
Los problemas de cambio de escala se facilitan enormemente mediante el análisis dimensional.
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